Question

2．已知函数f（x）=$\frac{sin2x+cos2x+1}{2cosx}$．
（1）求f（x）的定义域和值域；
（2）若α∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$），且f（α）=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，求cos2α的值．

Answer 1

分析 （1）由二倍角公式化简函数解析式可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），由正弦函数的图象和性质可得f（x）的定义域和值域；
（2）由（1）可得：f（α）=sinα+cosα=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，两边平方可求得sin2α，结合2α的范围即可求得cos2α的值．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{sin2x+cos2x+1}{2cosx}$=$\frac{2sinxcosx+2co{s}^{2}x}{2cosx}$=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），cosx≠0，
∴f（x）的定义域是{x|x=k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z}，值域是：[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]；
（2）∵由（1）可得：f（α）=sinα+cosα=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，
∴两边平方可得：1+sin2α=$\frac{18}{25}$，既得：sin2α=$\frac{7}{25}$，
∵α∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$），
∴2α∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），
∴cos2α=$\sqrt{1-si{n}^{2}2α}$=$\frac{24}{25}$．

点评 本题主要考查了二倍角的余弦公式，二倍角的正弦公式，同角三角函数关系式的应用，属于基本知识的考查．