Question

2．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lo{g}_{2}（1-x）|，x＜1}\\{-{x}^{2}+4x-2，x≥1}\end{array}\right.$则方程f（x+$\frac{1}{x}$-2）=1的实根个数为（　　）

• A． 8
• B． 7
• C． 6
• D． 5

Answer 1

分析 令g（x）=x+$\frac{1}{x}$-2，则g（x）=1或3或-1或$\frac{1}{2}$，再根据g（x）的图象判断各个方程的根的个数即可．

解答 解：令f（x）=1得x=3或x=1或x=$\frac{1}{2}$或x=-1，
∵f（x+$\frac{1}{x}$-2）=1，
∴x+$\frac{1}{x}$-2=3或x+$\frac{1}{x}$-2=1或x+$\frac{1}{x}$-2=$\frac{1}{2}$或x+$\frac{1}{x}$-2=-1．
令g（x）=x+$\frac{1}{x}$-2，则当x＞0时，g（x）≥2-2=0，
当x＜0时，g（x）≤-2-2=-4，
作出g（x）的函数图象如图所示：

∴方程x+$\frac{1}{x}$-2=3，x+$\frac{1}{x}$-2=1，x+$\frac{1}{x}$-2=$\frac{1}{2}$均有两解，
方程x+$\frac{1}{x}$-2=-1无解．
∴方程f（x+$\frac{1}{x}$-2）=1有6解．
故选C．

点评 本题考查了方程根与函数图象的关系，属于中档题．