Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若，求cosα的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由图象知A=1
f（x）的最小正周期T=4×（-）=π，故ω==2
将点（，1）代入f（x）的解析式得sin（+φ）=1，
又|φ|＜，∴φ=
故函数f（x）的解析式为f（x）=sin（2x+）

（Ⅱ）f（）=，即sin（）=，注意到0＜a＜，则＜＜，
所以cos（α+）=．
又cosα=[（α+）-]=cos（α+）cos+sin（α+）sin=
分析：（I）观察图象可得函数的最值为1，且函数先出现最大值可得A=1；函数的周期T=π，结合周期公式T=可求ω；由函数的图象过（）代入可得φ
（II）由（I）可得f（x）=sin（2x+），从而由f（）=，代入整理可得sin（）=，结合已知0＜a＜，可得cos（α+）=．，利用，代入两角差的余弦公式可求
点评：本题主要考查了（i）由三角函数的图象求解函数的解析式，其步骤一般是：由函数的最值求解A，（但要判断是先出现最大值或是最小值，从而判断A的正负号）由周期求解ω=，由函数图象上的点（一般用最值点）代入求解φ；
（ii）三角函数的同角平方关系，两角差的余弦公式，及求值中的拆角的技巧，要掌握常见的拆角技巧：①2α=（α+β）+（α-β）②2β=（α+β）-（α-β）③α=（α+β）-β④β=（α+β）-α