Question

18．设双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的半焦距为c，原点到直线l：ax+by=ab的距离等于$\frac{1}{3}$c+1，则c的最小值为6．

Answer 1

分析 先根据点到直线的距离求得知$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{ab}{c}$=$\frac{1}{3}$c+1，进而根据均值不等式的性质求得ab≤$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$=$\frac{{c}^{2}}{2}$，建立不等式关系进行求解即可求得c的范围．

解答 解：原点到直线l：ax+by=ab的距离d=$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{ab}{c}$=$\frac{1}{3}$c+1，
∴ab=$\frac{1}{3}$c²+c
∵ab≤$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$=$\frac{{c}^{2}}{2}$
∴$\frac{1}{3}$c²+c≤$\frac{{c}^{2}}{2}$，
即c²-6c≥0，解得c≥6或c≤0（舍去），
即c的最小值为6
故答案为：6

点评 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解题的关键是利用点到直线的距离求得a，b和c的关系，结合基本不等式是解决本题的关键．