Question

已知等比数列{a_n}的通项公式为a_n=3^n-1，设数列{b_n}满足对任意自然数n都有

b1

a1

+

b2

a2

+

b3

a3

+…+

bn

an

=2n+1恒成立．
①求数列{b_n}的通项公式；
②求b₁+b₂+b₃+…+b₂₀₀₅的值．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：本题①利用数列前n项和与通项的关系，得到

bn

an

的表达式，再利用数列{a_n}的通项公式为a_n=3^n-1，求出数列{b_n}的通项公式；
②由①知数列{b_n}的通项公式，利用等比数列求和公式，求出b₁+b₂+b₃+…+b₂₀₀₅的值，得到本题结论．

解答： 解：①∵对任意自然数n都有

b1

a1

+

b2

a2

+

b3

a3

+…+

bn

an

=2n+1恒成立，
∴当n=1时，

b1

a1

=3，
∵等比数列{a_n}的通项公式为a_n=3^n-1，
∴b₁=3a₁=3．
当n≥2，n∈N^*时，

b1

a1

+

b2

a2

+…+

bn-1

an-1

=2n-1，
∴

bn

an

=2，
∵等比数列{a_n}的通项公式为a_n=3^n-1，
∴b_n=2×3^n-1，n≥2，n∈N^*．
∴b_n=

3，n=1 2×3n-1，n≥2，n∈N*

．
②记S=b₁+b₂+b₃+…+b₂₀₀₅，
由①知：b_n=

3，n=1 2×3n-1，n≥2，n∈N*

，
∴S=3+2×3+2×3²+2×3³+…+2×3²⁰⁰⁴
=3+

6(1-32004)

1-3

=3×2²⁰⁰⁴．
∴b₁+b₂+b₃+…+b₂₀₀₅=3×2²⁰⁰⁴．

点评：本题考查了数列的前n项和与数列通项的关系，还考查了等比数列的求和公式、分类讨论的数学思想，本题难度适中，计算量不大，属于中档题．