Question

已知圆C：（x-3）²+（y-4）²=1和两点A（-a，1），B（a，-1），且a＞0，若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则a的最大值为．（　　）

• A、6
• B、

  35

• C、2

  6

• D、5

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：设P（m，n）在圆C上，由题意可得

AP

•

BP

=0，求得a²=m²+n²-1=|OP|²-1，根据|OP|的最大值是|OC|+1，可得a的最大值．

解答： 解：圆C：（x-3）²+（y-4）²=1的圆心C（3，4），半径r=1，
设P（m，n）在圆C上，则

AP

=（m+a，n-1），

BP

=（m-a，n+1），
∵∠APB=90°，∴

AP

⊥

BP

，

AP

•

BP

=（m+a）（m-a）+（n+1）（n-1）=0，
∴a²=m²+n²-1=|OP|²-1，
∴a=

|OP|2-1

，∴当|OP|取得最大值时，a取得最大值．
由于|OP|的最大值是|OC|+1=5+1=6，故a的最大值为

36-1

=

35

，
故选：B．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，求参数的最大值的方法，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用，属于中档题．