Question

已知{a_n}是等差数列，a₂+a₄=14，a₅+a₇=26．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n（a_n²-1）=8，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：1≤T_n＜2．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）由（1）可得bn=

8

(2n+1)2-1

=2(

1

n

-

1

n+1

)．利用“裂项求和”可得T_n，再利用数列的单调性即可证明．

解答： （1）解：设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₂+a₄=14，a₅+a₇=26．
∴

2a1+4d=14 2a1+10d=26

，解得

a1=3 d=2

，
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1．
（2）证明：∵b_n（a_n²-1）=8，
∴bn=

8

(2n+1)2-1

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)．
∴数列{b_n}的前n项和为T_n=2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]
=2(1-

1

n+1

)，
∴T_n＜2．
又数列{1-

1

n+1

}单调递增，∴T_n≥T₁=2×(1-

1

2

)=1．
综上可得：1≤T_n＜2．

点评：本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．