Question

如图，扇形AOB的半径OA=2，∠AOB=

π

2

，在OA的延长线上有一动点C，过C作CD与

AB

相切于点E，且与过点B所作的OB的垂线交CE于点D，问当点C在什么位置时，直角梯形OCDB面积最小？

Answer 1

考点：弧度制的应用

专题：计算题,三角函数的求值

分析：令∠C=α，易得∠EOD=∠BOD=

α

2

，OC=

2

sinα

，BD=2tan

α

2

，梯形面积最小，即OC+BD的和最小，即

2

sinα

+2tan

α

2

最小．

解答： 解：令∠C=α，易得∠EOD=∠BOD=

α

2

，OC=

2

sinα

，BD=2tan

α

2

，
梯形面积最小，即OC+BD的和最小，即

2

sinα

+2tan

α

2

最小．
令tan

α

2

=x，0＜x＜1，则原式化简=3x+

1

x

≥2

3

，
此时x=

3

3

，即BD=

2 3

3

，OC=

4 3

3

．
此时面积最小=

2 3 3 + 4 3 3

2

×2=2

3

．

点评：本题考查三角函数知识的运用，考查学生的计算能力，考查基本不等式的运用，比较基础．