Question

2．设二次函数f（x）=ax²+bx+c在区间[-2，2]上的最大值、最小值分别是M、m，集合A={x|f（x）=x}．
（1）若A={1，2}，且f（0）=2，求M和m的值；
（2）若A={1}，且a≥1，记g（a）=M+m，求g（a）的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）=x的解为x=1，x=2和f（0）=2列方程解出a，b，c得出f（x）的解析式，判断f（x）的单调性计算最值；
（2）根据f（x）=x只有一解x=1得出a，b，c的关系，根据a的范围判断f（x）的对称轴得出f（x）的单调性，从而求出g（a）的解析式，利用g（a）的单调性求出最小值．

解答 （1）∵f（0）=2，∴c=2，
∵A={1，2}，故1，2是方程ax²+bx+2=x的两实根．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b+2=1}\\{4a+2b+2=2}\end{array}\right.$，
解得a=1，b=-2．
∴f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，x∈[-2，2]，
当x=1时，m=f（1）=1，
当x=-2时，f（x）_max=f（-2）=10，即M=10．
（2）∵A={1}，∴ax²+（b-1）x+c=0有唯一解x=1．
∵a≥1，∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1-b}{a}=2}\\{\frac{c}{a}=1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{b=1-2a}\\{c=a}\end{array}\right.$．
∴f（x）=ax²+（1-2a）x+a，
∴f（x）的对称轴为x=$\frac{2a-1}{2a}$=1-$\frac{1}{2a}$，
∵a≥1，∴$\frac{1}{2}$≤1-$\frac{1}{2a}$＜1，
∴M=f（-2）=9a-2，m=f（1-$\frac{1}{2a}$）=1-$\frac{1}{4a}$，
∴g（a）=M+m=9a-1-$\frac{1}{4a}$，
∵g（a）在[1，+∞）上是增函数，
∴g_min（a）=g（1）=$\frac{31}{4}$．

点评 本题考查了二次函数的单调性判断，二次函数的最值计算，属于中档题．