Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

，已知的最小正周期是π，最小值为-3，且f（0）=

3

2

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求不等式f（x）≥

3 3

2

的解集；
（3）如何由f（x）的图象得到函数y=sin4x的图象？

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）由不等式可得sin（2x+

π

6

）≥

3

2

，令 2kπ+

π

3

≤2x+

π

6

≤2kπ+

2π

3

，k∈z，求出x的范围，即为所求．
（3）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．

解答： 解：（1）对于函数f（x）=Asin（ωx+φ），由函数的最小正周期是

2π

ω

=π，可得ω=2．
根据函数的最小值为-3，可得A=3．由f（0）=3sinφ=

3

2

，可得 sinφ=

1

2

，
再结合0＜φ＜

π

2

，可得φ=

π

6

，故函数的解析式为f(x)=3sin(2x+

π

6

)．
（2）由不等式f（x）≥

3 3

2

可得，sin（2x+

π

6

）≥

3

2

，令 2kπ+

π

3

≤2x+

π

6

≤2kπ+

2π

3

，k∈z，
求得 kπ+

π

12

≤x≤kπ+

π

4

，故不等式的解集为 {x|kπ+

π

12

≤x≤kπ+

π

4

，k∈Z}．
（3）把f（x）的图象向右平移

π

12

个单位，可得y=3sin[2（x-

π

12

）+

π

6

]=3sin2x的图象，
再把素的图象的横坐标变为原来的

1

2

倍，可得函数y=sin4x的图象．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角不等式的解法，属于及撤退．