Question

20．已知cos（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，α∈（0，$\frac{π}{2}$），则sinα=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

Answer 1

分析 利用同角三角函数的基本关系求得sin（α+$\frac{π}{4}$）的值，再利用两角差的正弦公式求得sinα=sin[（$α+\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]的值．

解答 解：∵cos（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，α∈（0，$\frac{π}{2}$），∴sin（α+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{{1-cos}^{2}（α+\frac{π}{4}）}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
则sinα=sin[（$α+\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]=sin（α+$\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{4}$-cos（α+$\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{4}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}•\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{\sqrt{5}}{5}•\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式的应用，属于基础题．