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如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=4,AB=2,以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M.
(1)求证:平面ABM平面PCD;
(2)求三棱锥M-ABD的体积.

(1)见解析(2)

解析试题分析:(1)由PA⊥平面ABCD知,PA⊥AB,由ABCD为矩形知,AB⊥AD,由线面垂直判定定理知,AB⊥PAD,所以PB⊥AB,由以BD为直径的球与PB的交点为M知,BM⊥DM,由线面垂直判定知PD⊥面ABM,由面面垂直判定定理知面PCD⊥面ABM;(2)由(1)知,PD⊥面ABM,所以PD⊥AM,因为PA=AD=4,所以M是PD的中点,取AD的中点为N,则NM平行PA,因为PA⊥平面ABCD,所以MN⊥ABCD,MN==2,即MN是三棱锥M-ABD的高,用棱锥的体积公式即可求出其体积.
试题解析:(1)   
      
由题意得,

              6分
(2)由(1)知,PD⊥面ABM,所以PD⊥AM,
因为PA=AD=4,所以M是PD的中点,
取AD的中点为N,则NM平行PA,
因为PA⊥平面ABCD,所以MN⊥ABCD,MN==2,
所以===.  12分
考点:球的性质,线面垂直的判定与性质,面面垂直判定定理,棱锥的体积公式,逻辑推论证能力.

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