Question

6．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a=2，cosB=$\frac{3}{5}$．
（1）若b=4，求sinA的值；
（2）若△ABC的面积S_△ABC=4，求b、c的值．

Answer 1

分析 （1）由cosB=$\frac{3}{5}$＞0，且0＜B＜π，可得sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$．再利用正弦定理即可得出．
（2）由S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=，解得c，再利用余弦定理即可得出．

解答 解：（1）∵cosB=$\frac{3}{5}$＞0，且0＜B＜π，∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{4}{5}$．
由正弦定理得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$，∴sinA=$\frac{asinB}{b}$=$\frac{2}{4}×\frac{4}{5}$=$\frac{2}{5}$．
（2）∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×2c$×$\frac{4}{5}$=4，∴c=5．
由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB=2²+5²-2×2×5×$\frac{3}{5}$=17，∴b=$\sqrt{17}$．

点评 本题考查了三角形面积计算公式、正弦定理余弦定理、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．