Question

17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，$\frac{cosC}{sinC}$=$\frac{cosA+cosB}{sinA+sinB}$．
（1）求∠C的大小；
（2）若c=2，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{cosC}{sinC}$=$\frac{cosA+cosB}{sinA+sinB}$，可得sin（A-C）=sin（C-B），A-C=C-B，或A-C=π-（C-B）（舍去）．即可得出．
（2）由c=2，可得cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-4}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）∵$\frac{cosC}{sinC}$=$\frac{cosA+cosB}{sinA+sinB}$，
∴cosCsinA+cosCsinB=sinCcosA+sinCcosB，cosCsinA-sinCcosA=sinCcosB-cosCsinB，
得sin（A-C）=sin（C-B），∴A-C=C-B，或A-C=π-（C-B）（舍去）．
∴2C=A+B=π-C，解得C=$\frac{π}{3}$．
（2）∵c=2，∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-4}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
∴a²+b²-4=ab≥2ab-4，∴ab≤4，（当且仅当a=b=2取等号）．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}ab$sinC≤$\frac{1}{2}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．
则△ABC的面积的最大值为$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了三角形面积计算公式、余弦定理、和差公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．