Question

14．求满足下列条件的双曲线的标准方程：
（1）与双曲线$\frac{x^2}{16}$-$\frac{y^2}{4}$=1有公共焦点，且过点（3$\sqrt{2}$，2）；
（2）渐近线方程为2x±3y=0，顶点在y轴上，且焦距为2$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 （1）利用与双曲线$\frac{x^2}{16}$-$\frac{y^2}{4}$=1有公共焦点，且过点（3$\sqrt{2}$，2），建立方程，即可求出双曲线的标准方程；
（2）设双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{\frac{m}{9}}-\frac{{x}^{2}}{\frac{m}{4}}$=1，利用焦距为2$\sqrt{13}$，求出m，即可求出双曲线的标准方程．

解答 解：（1）由双曲线$\frac{x^2}{16}$-$\frac{y^2}{4}$=1可求得c²=20．
∵两双曲线有公共的焦点，
∴a²+b²=20①
代入（3$\sqrt{2}$，2），可得$\frac{18}{{a}^{2}}-\frac{4}{{b}^{2}}$=1②，
由①②可解得：a²=12，b²=8．
故所求双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{12}-\frac{{y}^{2}}{8}$=1；
（2）设双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{\frac{m}{9}}-\frac{{x}^{2}}{\frac{m}{4}}$=1，
∵焦距为2$\sqrt{13}$，
∴$\frac{m}{9}$+$\frac{m}{4}$=13，∴m=36，
∴双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{4}-\frac{{x}^{2}}{9}$=1．

点评 本题考查待定系数法求双曲线的标准方程，考查学生的计算能力，正确设出双曲线方程是关键．