Question

19．已知函数f（x）为R上的单调函数，f^-1（x）是它的反函数，点A（-1，3）和点B（1，1）均在函数f（x）的图象上，则不等式|f^-1（2^x）|＜1的解集为（　　）

• A． （-1，1）
• B． （1，3）
• C． （0，log₂3）
• D． （1，log₂3）

Answer 1

分析 由已知结合互为反函数的两个函数图象间的关系可得f^-1（3）=-1，f^-1（1）=1，再由|f^-1（2^x）|＜1，得
-1＜f^-1（2^x）＜1，即f^-1（3）＜f^-1（2^x）＜f^-1（1），再由函数的单调性转化为指数不等式求解．

解答 解：∵点A（-1，3）和点B（1，1）在图象上，
∴f（-1）=3，f（1）=1，又f^-1（x）是f（x）的反函数，
∴f^-1（3）=-1，f^-1（1）=1，
由|f^-1（2^x）|＜1，得-1＜f^-1（2^x）＜1，
即f^-1（3）＜f^-1（2^x）＜f^-1（1），
函数f（x）为R的减函数，∴f^-1（x）是定义域上的减函数，
则1＜2^x＜3，解得：0＜x＜log₂3．
∴不等式|f^-1（2^x）|＜1的解集为（0，log₂3）．
故选：C．

点评 本题考查函数单调性的性质，考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，体现了数学转化思想方法，是基础题．