Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）上一点P到焦点F的距离为p，到x轴的距离为1，过F作倾斜角为45°的直线l与抛物线的准线交于点A，则

OA

•

OF

等于（　　）

• A、-

  1

  4

• B、-

  1

  2

• C、

  1

  4

• D、

  1

  2

Answer 1

考点：抛物线的简单性质,平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用抛物线的定义列出关系式，转化为点的坐标代入抛物线方程，然后求解向量的数量积即可．

解答： 解：不妨设点P（x₀，1），根据定义可知点P到焦点F的距离等于点P到准线的距离，
故x₀+

p

2

=p，故x₀=

p

2

，把点P坐标代入抛物线方程可得1=2p•

p

2

，
故p=1，焦点坐标（

1

2

，0），
故直线l的方程为y=x-

1

2

，则直线l与抛物线的准线x=-

1

2

的交点为A（-

1

2

，-1），
则

OA

•

OF

=（-

1

2

，-1）•（

1

2

，0）=-

1

4

．
故选：A．

点评：本题考查抛物线的简单性质的应用，向量的数量积的求法，基本知识的考查．