Question

为了研究探照灯的结构特征，在坐标轴中画出了探照灯的轴截面，如图．已知探照灯的轴截面图是抛物线y²=2px（p＞0）的一部分，若该抛物线的焦点恰好在直线x+y-1=0上．
（1）求该抛物线的方程；
（2）若一束平行于x轴的直线入射到抛物线的P点，经过抛物线焦点F后，由点Q反射出平行光线，试确定点P的位置使得从入射点P到反射点Q的路程最短．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,抛物线的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）直线x+y-1=0与x轴的交点为（1，0）点的焦点坐标，即可求解抛物线方程．
（2）设点P坐标为（

a2

4

，a）（a≠0），推出PQ的方程为y=

4a

a2-4

（x-1）．与抛物线方程联立，求出Q的坐标，利用|PQ|=|PF|+|QF|=

a2

4

+

4

a2

+2以及基本不等式求出最值，即可点的入射点P到反射点Q的路程最短．

解答： 解：（1）直线x+y-1=0与x轴的交点为（1，0），
故抛物线焦点F（1，0），抛物线方程为y²=4x．         （5分）

（2）设点P坐标为（

a2

4

，a）（a≠0），又PQ过焦点可得PQ的方程为y=

4a

a2-4

（x-1）．
由

y= 4a a2-4 (x-1) y2=4x

解得y=a或y=-

4

a

，
故点Q（

4

a2

，-

4

a

），则|PQ|=|PF|+|QF|=

a2

4

+

4

a2

+2≥2+2=4，
当且仅当a=±2时，取等号，
故当点P的坐标为（1，2）或（1，-2）时，从入射点P到反射点Q的路程最短为4．          （12分）

点评：本题考查抛物线与直线的位置关系，抛物线方程的求法，考查基本不等式的应用，考查计算能力．