Question

 

    已知函数f（x）对任意的实数x、y都有f（x+y） =f（x）+f（y）-1，且当x>0 时，

f（x）＞1．

   （1）求证：函数f（x）在R上是增函数；

   （2）若关于x的不等式的解集为{x|-3＜x＜2＝，求f（2009）的值；

   （3）在（2）的条件下，设,若数列从第k项开始的连续20项之和等于102，求k的值．

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （1）证明：设x₁＞x₂，则x₁-x₂＞0，从而f（x₁-x₂）>1,即f（x₁-x₂）-1＞0．………2分

,

故f（x）在R上是增函数．…4分

（2）设2 =f（b），于是不等式为．

则,即．………6分

∵不等式f（x² -ax +5a） <2的解集为{x|-3<x<2}，

∴方程x²-ax+5a-b=0的两根为-3和2,

于是,解得∴f（1）＝2．………8分

在已知等式中令x=n,y=1,得f（n+1）-f（n） =1．

所以{f（n）}是首项为2,公差为1的等差数列．

f（n）=2+（n-1）×1=n+1，故f（2009）=2010．………10分

（3） ．

设从第k项开始的连续20项之和为T_k，则．

当k≥13时，a_k=|k-13|=k-13，T_k≥T₁₃=0＋1＋2＋3＋…＋19=190＞102．      （11分）

当k<13时，a_k=|k-13|＝13-k．

T_k=（13-k）+（12一k）＋…＋1＋0＋1＋…＋（k＋6）=k²一7k＋112．

令kk＋112＝102，解得k=2或k＝5．………14分

（注：当k≥13时，a_k=|k一13|=k一13，令,

无正整数解．得11分）