Question

17．已知函数f（x）=e^x[x²-（m+2）x+2m+1]．
（1）若函数f（x）在（0，2）上无极值，求实数m的值；
（2）若m＞1，且存在实数x₀∈（0，2），使得f（x₀）是f（x）在[0，2]上的最大值，求实数m的取值范围；
（3）若不等式$\frac{f（x）}{e^x}≥2lnx-\frac{1}{x^2}+2m+1$对于任意0＜x≤1恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用f（x）在（ 0，2 ）上无极值，得到m-1=1，即可求实数m的值；
（2）令f′（m）=0得  x=1，或 x=m-1，分类讨论，确定函数的单调性，利用f（x₀）是f（x）在[0，2]上的最大值，求实数m的取值范围；
（3）若不等式$\frac{f（x）}{e^x}≥2lnx-\frac{1}{x^2}+2m+1$对于任意0＜x≤1恒成立，即是$m≤x+\frac{1}{x^3}-\frac{2lnx}{x}-2$对于任意0＜x≤1恒成立，构造函数求最值，即可求实数m的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=e^x[x²-（m+2）x+2m+1]
∴f′（x）=e^x•[x²-mx+（m-1）]=（x-1）[x-（m-1）]•e^x，
∵f（x）在（ 0，2 ）上无极值
∴m-1=1得m=2…（3分）
（2）∵存在实数x₀∈（0，2），使得f（x₀）是f （ x ）在[0，2]上的最大值
∴x∈[0，2]时，f（x）在x=x₀处取得最大值
由（1）得f′（x）=（x-1）[x-（m-1）]•e^x
令f′（m）=0得  x=1，或 x=m-1
①当1＜m＜2时，0＜m-1＜1，
则f（x）在（0，m-1）上单调递增，在（m-1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{f（m-1）≥f（2）}\\{1＜m＜2}\end{array}}\right.$得 （4-m）e^m-1≥e²即 （4-m）e^m≥e³，
令g（m）=（4-m）e^m则 g′（m）=（3-m）e^m，
由1＜m＜2得g′（m）＞0，∴g（m）在（1，2）上单调递增，∴g（m）＜g（2）＜g（3）=e³，
∴g（m）在1＜m＜2时无解，故舍去；
②当m=2时，m-1=1f（x）在（0，2）上单调递增，${f_{max}}（x）=f（2）={e^2}$，不合题意，舍去；
③当2＜m＜3时，1＜m-1＜2f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，m-1）上单调递减，在（m-1，2）上单调递增，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{f（1）≥f（2）}\\{2＜m＜3}\end{array}}\right.$即$\left\{{\begin{array}{l}{me≥{e^2}}\\{2＜m＜3}\end{array}}\right.$，∴e≤m＜3．
④当m≥3时，m-1≥2f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，符合题意；
综上所述：m≥e．…（8分）
（3）由不等式$\frac{f（x）}{e^x}≥2lnx-\frac{1}{x^2}+2m+1$，
即是$m≤x+\frac{1}{x^3}-\frac{2lnx}{x}-2$对于任意0＜x≤1恒成立
令$h（x）≤x+\frac{1}{x^3}-\frac{2lnx}{x}-2$（0＜x≤1）
则${h^'}（x）=1-\frac{3}{x^4}-\frac{2（1-lnx）}{x^2}=\frac{{{x^4}-3-2{x^2}（1-lnx）}}{x^4}$
∵0＜x≤1，
∴x⁴-3＜0，-2x²（1-lnx）＜0∴h′（x）＜0，
∴h（x）在（0，1]上单调递减，∴h_min（x）=h（1）=0
∴m的取值范围是m≤0．…（12分）

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的极值、单调性，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，难度大．