Question

（本小题满分13分）如图，多面体ABCDEF中，平面ADEF⊥平面ABCD，正方形ADEF的边长为2，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB＝2，CD＝4．

（Ⅰ）求证：BC⊥平面BDE；

（Ⅱ）试在平面CDE上确定点P，使点P到直线DC、DE的距离相等，且AP与平面BEF所成的角等于30°．

Answer 1

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由题设平面ADEF⊥平面ABCD及正方形ADEF 可知 平面，所以

因此要证BC⊥平面BDE，只要用勾股定理证明即可；也可以利用 两两互相垂直建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积证明；

（Ⅱ）利用 两两互相垂直建立空间直角坐标系，令 是平面 的一个法向量，则由求出向量的坐标，利用向量的夹角公式列方程求出点 的坐标．

试题解析：

（Ⅰ）解法一：

证明：因为平面 平面 ,

所以 平面 1分

又因为 平面

所以 2分

在直角梯形中

所以， 3分

所以， 4分

又因为

所以 平面． 5分

解法二：

因为平面 平面 ,

所以 平面 1分

所以 两两互相垂直

以点 为原点，直线 分别为 轴， 轴， 轴建立如下图所示的空间直角坐标系

则

2分

所以 3分

所以， 4分

又因为

所以 平面． 5分

（Ⅱ）因为平面 平面 ,

所以 平面

所以 两两互相垂直

以点 为原点，直线 分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系

则

6分

设 ，则

令 是平面 的一个法向量，则

所以 ，令 ，得

所以 8分

因为 与平面所成的角等于 ，

所以与所成的角为或

所以 10分

所以

又因为 ，所以 或 11分

当时，（*）式无解

当时，解得： 12分

所以， 或 13分

考点：1、空间直线与平面的位置关系；2、空间向量在立体几何中的应用．