【题目】已知椭圆:
的左、右焦点与其短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点,点
在椭圆上,直线
与椭圆交于
,
两点,与
轴,
轴分别交于点
,
,且
,点
是点
关于
轴的对称点,
的延长线交椭圆于点
,过点
,
分别作
轴的垂线,垂足分别为
,
.
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在直线,使得点
平分线段
?若存在,求出直线
的方程,若不存在请说明理由.
【答案】(1);(2)答案见解析.
【解析】试题分析: (1)由正三角形的高与边长的关系可求出,再由点
在椭圆上,可求出
的值,从而求出椭圆方程; (2)假设存在,由直线方程可求出
点的坐标,由已知条件可求出
点的坐标,设
联立直线与椭圆的方程,消去
,得到关于
的一元二次方程,由韦达定理可求出
的表达式以及直线
的斜率,联立直线
与椭圆方程,可求出
的表达式,进而求出
的表达式, 由
平分线段
,求出
的值,得出直线方程.
试题解析:(1)由题意知,即
,
,即
,
∵在椭圆上,∴
,
所以椭圆方程为
.
(2)存在
设,∵
∴,
∴
①
∴,
联立 ∴
②
∴
∴
∴
若平分线段
,则
即,
, ∴
∵ 把①,②代入,得
所以直线的方程为
或
点睛:本题主要考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系,属于中档题.第一问求椭圆方程很容易,大部分学生能做对; 在第二问中,假设存在, 当点平分线段
,
点为
的中点,利用中点坐标公式,求出
的值,得出直线方程.注意本题涉及的点线位置关系比较复杂,容易弄错.
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【题目】宁德市某汽车销售中心为了了解市民购买中档轿车的意向,在市内随机抽取了100名市民为样本进行调查,他们月收入(单位:千元)的频数分布及有意向购买中档轿车人数如下表:
月收入 | [3,4) | [4,5) | [5,6) | [6,7) | [7,8) | [8,9) |
频数 | 6 | 24 | 30 | 20 | 15 | 5 |
有意向购买中档轿车人数 | 2 | 12 | 26 | 11 | 7 | 2 |
将月收入不低于6千元的人群称为“中等收入族”,月收入低于6千元的人群称为“非中等收入族”.
(Ⅰ)在样本中从月收入在[3,4)的市民中随机抽取3名,求至少有1名市民“有意向购买中档轿车”的概率.
(Ⅱ)根据已知条件完善下面的2×2列联表,并判断有多大的把握认为有意向购买中档轿车与收入高低有关?
非中等收入族 | 中等收入族 | 总计 | |||||
有意向购买中档轿车人数 | 40 | ||||||
无意向购买中档轿车人数 | 20 | ||||||
总计 | 100 | ||||||
0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | ||||
2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | ||||
附:
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【题目】已知在图1所示的梯形中,
,
于点
,且
.将梯形
沿
对折,使平面
平面
,如图2所示,连接
,取
的中点
.
(1)求证:平面平面
;
(2)在线段上是否存在点
,使得直线
平面
?若存在,试确定点
的位置,并给予证明;若不存在,请说明理由;
(3)设,求三棱锥
的体积.
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【题目】某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下:
①若,则奖励玩具一个;
②若,则奖励水杯一个;
③其余情况奖励饮料一瓶.
假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.
(Ⅰ)求小亮获得玩具的概率;
(Ⅱ)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.
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【题目】“杨辉三角”又称“贾宪三角”,是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算,而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中,记录了贾宪三角形数表,并称之为“开方作法本源”图.下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”.该表由若干行数字组成,从第二行起,每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和,表中最后一行仅有一个数,则这个数是 ( )
2017 2016 2015 2014……6 5 4 3 2 1
4033 4031 4029…………11 9 7 5 3
8064 8060………………20 16 12 8
16124……………………36 28 20
………………………
A. B.
C.
D.
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【题目】【2018湖南(长郡中学、株洲市第二中学)、江西(九江一中)等十四校高三第一次联考】已知函数(其中
且
为常数,
为自然对数的底数,
).
(Ⅰ)若函数的极值点只有一个,求实数
的取值范围;
(Ⅱ)当时,若
(其中
)恒成立,求
的最小值
的最大值.
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