【题目】【2018湖南(长郡中学、株洲市第二中学)、江西(九江一中)等十四校高三第一次联考】已知函数(其中
且
为常数,
为自然对数的底数,
).
(Ⅰ)若函数的极值点只有一个,求实数
的取值范围;
(Ⅱ)当时,若
(其中
)恒成立,求
的最小值
的最大值.
【答案】(Ⅰ) 或
;(Ⅱ)
.
【解析】试题分析:
(Ⅰ)由题意可知函数的定义域为
,其导数为
.由
或
,设
,则
,分类讨论可得当
或
时,
只有
一个极值点.很明显当
时,
只有
一个极值点.当
时,
有
、
、
三个极值点.则当
或
时,函数
只有一个极值点.
(Ⅱ)依题意得,令
,则
,分类讨论:当
时,
,与
恒成立矛盾;当
时,只需
成立,则
,问题转化为求解
的最小值,计算可得
,即
的最小值
的最大值为
.
试题解析:
(Ⅰ)函数的定义域为
,其导数为
.
由或
,
设,∵
,∴当
时,
;当
时,
.
即在区间
上递增,在区间
上递减,∴
,
又当时,
,当
时,
且
恒成立.
所以,当或
时,方程
无根,函数
只有
一个极值点.
当时,方程
的根也为
,此时
的因式
恒成立,
故函数只有
一个极值点.
当时,方程
有两个根
、
且
,
,∴函数
在区间
单调递减;
单调递增;
单调递减;
单调递增,此时函数
有
、
、
三个极值点.
综上所述,当或
时,函数
只有一个极值点.
(Ⅱ)依题意得,令
,则对
,都有
成立.
因为,所以当
时,函数
在
上单调递增,
注意到,∴若
,有
成立,这与
恒成立矛盾;
当时,因为
在
上为减函数,且
,所以函数
在区间
上单调递增,在
上单调递减,∴
,
若对,都有
成立,则只需
成立,
,
当时,则
的最小值
,∵
,∴函数
在
上递增,在
上递减,∴
,即
的最小值
的最大值为
;
综上所述, 的最小值
的最大值为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆:
的左、右焦点与其短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点,点
在椭圆上,直线
与椭圆交于
,
两点,与
轴,
轴分别交于点
,
,且
,点
是点
关于
轴的对称点,
的延长线交椭圆于点
,过点
,
分别作
轴的垂线,垂足分别为
,
.
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在直线,使得点
平分线段
?若存在,求出直线
的方程,若不存在请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某篮球运动员每次在罚球线投篮投进的概率是0.8,且各次投篮的结果互不影响.
(1)假设这名运动员投篮3次,求恰有2次投进的概率(结果用分数表示);
(2)假设这名运动员投篮3次,每次投进得1分,未投进得0分;在3次投篮中,若有2次连续投进,而另外一次未投进,则额外加1分;若3次全投进,则额外加3分,记为该篮球运动员投篮3次后的总分数,求
的分布列及数学期望
(结果用分数表示).
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,圆
的参数方程为
(
为参数),圆
与圆
外切于原点
,且两圆圆心的距离
,以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求圆和圆
的极坐标方程;
(2)过点的直线
、
与圆
异于点
的交点分别为点
和点
,与圆
异于点
的交点分别为点
和点
,且
.求四边形
面积的最大值.
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