Question

19．设等比数列{a_n}的公比q＞1，前n项和为S_n，则$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n+2}}{{S}_{n}}$=q²．

Answer 1

分析 利用等比数列求和以及数列的极限求解即可．

解答 解：等比数列{a_n}的公比q＞1，前n项和为S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$，
则$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n+2}}{{S}_{n}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n+2}）}{1-q}}{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1-{q}^{n}•{q}^{2}}{1-{q}^{n}}$
=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{\frac{1}{{q}^{n}}-{q}^{2}}{\frac{1}{{q}^{2}}-1}$=$\frac{-{q}^{2}}{-1}$=q²．
故答案为：q²．

点评 本题考查等比数列的应用，数列的求和，考查数列的极限的应用．