Question

14．求y=$\frac{{x}^{2}-x+1}{{x}^{2}+x+1}$（x∈（0，+∞））值域．

Answer 1

分析 根据x＞0，原函数解析式的分子分母同除以x并分离常数即可得到$y=1-\frac{2}{x+\frac{1}{x}+1}$，根据基本不等式有$x+\frac{1}{x}≥2$，从而求出$\frac{2}{x+\frac{1}{x}+1}$的范围，进而便可得出y的范围，即求出该函数的值域．

解答 解：∵x＞0；
∴$y=\frac{{x}^{2}-x+1}{{x}^{2}+x+1}=\frac{x+\frac{1}{x}-1}{x+\frac{1}{x}+1}=1-\frac{2}{x+\frac{1}{x}+1}$；
$x+\frac{1}{x}≥2$，x=1时取“=”；
∴$x+\frac{1}{x}+1≥3$；
∴$0＜\frac{2}{x+\frac{1}{x}+1}≤\frac{2}{3}$；
∴$\frac{1}{3}≤y＜1$；
∴该函数的值域为$[\frac{1}{3}，1）$．

点评 考查函数值域的概念及求法，分离常数法的运用，基本不等式在求值域上的运用，以及不等式的性质．