Question

15．如图，在四边形ABCD中，AB=AD=2$\sqrt{3}$，BC=CD=2，∠BAD=60°，点M为线段AD的中点，将△DMC沿线段MC翻折到△PMC（点D与点P重合），使得平面PAC⊥平面ABCD，连接PA、PB．
（1）在AB上是否存在一点N，使得PC⊥平面PMN？若存在，指出点N的位置并加以证明，若不存在，请说明理由；
（2）求二面角P-MC-B的正切值．

Answer 1

分析 （1）根据线面垂直的判定定理，结合图象折叠前后的位置关系进行判断即可．
（2）建立坐标系，利用向量法即可求二面角P-MC-B的正切值．

解答 解：（1）∵在四边形ABCD中，AB=AD=2$\sqrt{3}$，BC=CD=2，∠BAD=60°，
∴连接AC，BD相交于O，
则O为BD的中点，且AO⊥BD，
∵∠BAD=60°，∴∠CAD=30°，
则AD⊥CD，即MP⊥PC，
∵将△DMC沿线段MC翻折到△PMC（点D与点P重合），使得平面PAC⊥平面ABCD，
∴PO⊥平面ABC，
AO=3，CO=1，DO=OB=OP=$\sqrt{3}$，
在AB上若存在一点N，使得PC⊥平面PMN，
则∵PC⊥MP，
∴只需要PC⊥MN，即可，
即MN⊥平面PAC即可，MN⊥AO，
∵M为线段AD的中点，
∴N为线段AB的中点，
即当N为线段AB的中点时，满足PC⊥平面PMN．
（2）以O为坐标原点，OA，OB，OP分别为x，y，z轴，建立空间坐标系如图：
则A（3，0，0），B（0，$\sqrt{3}$，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），D（0，-$\sqrt{3}$，0），
M（$\frac{3}{2}$，$-\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），C（-1，0，0）
设平面PMC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\overrightarrow{PM}$=（$\frac{3}{2}$，$-\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PC}$=（-1，0，-$\sqrt{3}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PM}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}x-\frac{\sqrt{3}}{2}y-\sqrt{3}z=0}\\{-x-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，
令x=$\sqrt{3}$，则y=1，z=-1，
即$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，1，-1），
平面MBC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
则cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-1}{1×\sqrt{3+1+1}}=-\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∵二面角P-MC-B为锐二面角，
∴设二面角为θ，
则cosθ=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，sinθ=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
则tanθ=2，
即二面角P-MC-B的正切值为2．

点评 本题主要考查空间线面垂直的判定以及二面角的求解，建立空间坐标系，利用向量法是解决本题的关键．