Question

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成递减的等差数列，若∠A=2∠C，则

a

c

=

 

．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：设a=b+d，c=b-d，d＞0，由∠A=2∠C求得cos∠C=

sin∠A

2sin∠C

=

b+d

2b-2d

．再由余弦定理可得cos∠C=

4d+b

2b+2d

，可得 

b+d

2b-2d

=

4d+b

2b+2d

，求得b=5d，可得

a

c

=

b+d

b-d

 的值．

解答： 解：△ABC中，由a，b，c成递减的等差数列，可设a=b+d，c=b-d，d＞0．
∵∠A=2∠C，∴sin∠A=2sin∠C•cos∠C，∴cos∠C=

sin∠A

2sin∠C

=

a

2c

=

b+d

2b-2d

．
再由余弦定理可得cos∠C=

a2+b2-c2

2ab

=

(b+d)2+b2-(b-d)2

2(b+d)b

=

4d+b

2b+2d

，
∴

b+d

2b-2d

=

4d+b

2b+2d

，求得b=5d，∴

a

c

=

b+d

b-d

=

6d

4d

=

3

2

，
故答案为：

3

2

．

点评：本题主要考查等差数列的定义，正弦定理、余弦定理的应用，属于基础题．