Question

19．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=2a，D，E分别为AC，AB的中点，沿DE将△ADE折起，得到四棱锥A′-BCDE，已知A′H⊥CD，垂足为H．
（Ⅰ）求证：平面A′HB⊥平面BCDE；
（Ⅱ）求三棱锥B-A′DE的最大体积．

Answer 1

分析 （1）由DE⊥CD，DE⊥A′D可知DE⊥平面A′CD，故而A′H⊥DE，又A′H⊥CD，故A′H⊥平面BCDE，于是平面A′HB⊥平面BCDE；
（2）当A′D⊥平面BCDE时，棱锥A′-BDE的高取得最大值a，且底面BDE不变，从而求出棱锥的最大体积．

解答 证明：（1∵D，E是AC，AB的中点，∠ACB=90°，
∴DE⊥CD，DE⊥A′D，又CD?平面A′CD，A′D?平面A′CD，CD∩A′D=D，
∴DE⊥平面A′CD．∵A′H?平面A′CD，
∴A′H⊥DE，又A′H⊥CD，CD∩DE=D，CD?平面BCDE，DE?平面BCDE，
∴A′H⊥平面BCDE，∵A′H?平面A′HB，
∴平面A′HB⊥平面BCDE．
（2）∵AC=BC=2a，∠ACB=90°，DE是△ABC的中位线，
∴A′D=DE=a，S_△BDE=$\frac{1}{2}×a×a$=$\frac{{a}^{2}}{2}$．
当A′D⊥平面BCDE时，四棱锥A′-BCDE的高取得最大值A′D=a，
∴三棱锥B-A′DE的最大体积V_B-A′DE=V_A′-BDE=$\frac{1}{3}$S_△BDE•A′D=$\frac{1}{3}×\frac{{a}^{2}}{2}×a$=$\frac{{a}^{3}}{6}$．

点评 本题考查了面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．