Question

三棱柱ABC-A′B′C′的底面是边长为1的正三角形，高AA′=1，在AB上取一点P，设△PA′C′与底面所成的二面角为α，△PB′C′与底面所成的二面角为β，则tan（α+β）的最小值是（　　）

• A、-

  3

  4

  3

• B、-

  6

  15

  3

• C、-

  8

  13

  3

• D、-

  5

  8

  3

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,两角和与差的正切函数

专题：空间角

分析：记P在A′B′=1上的投影为P′，A′P′=t，则B′P′=1-t，由图形得tanα=

1

3 2 t

=

2

3 t

，tanβ=

2

3 (1-t)

，由此能求出tan（α+β）的最小值．

解答： 解：记P在A′B′=1上的投影为P′，A′P′=t，
则B′P′=1-t，由图形得tanα=

1

3 2 t

=

2

3 t

，
tanβ=

2

3 (1-t)

，
∴tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

2 3 t + 2 3 (1-)t

1- 2 3 t • 2 3 (1-t)

=

2

3

•

1

t-t2- 4 3

≥-

8 3

13

．
∴tan（α+β）的最小值是-

8 3

13

．
故选：C．

点评：本题考查两角和的正切值的最小值的求法，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．