Question

16．设函数f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极小值；
（Ⅱ）f（x）的导函数是f′（x），讨论函数g（x）=f′（x）-x的零点个数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）a=1时，f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，利用f′（x）判定f（x）的增减性并求出f（x）的极小值；
（Ⅱ）由函数g（x）=f′（x）-x，令g（x）=0，求出m；设φ（x）=a，求出φ（x）的值域，讨论a的取值，对应g（x）的零点情况．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$；
∴当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，1）上是减函数；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函数；
∴x=1时，f（x）取得极小值为f（1）=ln1+1=1；
（Ⅱ）∵函数g（x）=f′（x）-x=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$-x（x＞0），
令g（x）=0，得a=-x³+x（x＞0）；
设φ（x）=-x³+x（x＞0），
∴φ′（x）=-3x²+1=-3（x-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）（x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$）；
当x∈（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）时，φ′（x）＞0，φ（x）在（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）上是增函数，
当x∈（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞）时，φ′（x）＜0，φ（x）在（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞）上是减函数；
∴x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$是φ（x）的极值点，且是极大值点，
∴x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$是φ（x）的最大值点，
∴φ（x）的最大值为φ（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）=$\frac{2\sqrt{3}}{9}$；
又φ（0）=0，结合y=φ（x）的图象，如图：
；
可知：①当a＞$\frac{2\sqrt{3}}{9}$时，函数g（x）无零点；
②当a=$\frac{2\sqrt{3}}{9}$时，函数g（x）有且只有一个零点；
③当0＜a＜$\frac{2\sqrt{3}}{9}$时，函数g（x）有两个零点；
④当a≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；
综上，当a＞$\frac{2\sqrt{3}}{9}$时，函数g（x）无零点；
当a=$\frac{2\sqrt{3}}{9}$或a≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；
当0＜a＜$\frac{2\sqrt{3}}{9}$时，函数g（x）有两个零点．

点评 本题考查了导数的综合应用问题，解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函数的极值和最值，应用分类讨论法，构造函数等方法来解答问题，是难题．