Question

19．已知函数f（x）=2acos²x+bsinxcosx，且f（0）=2，f（$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$+$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）的最大值与最小值；
（3）若α-β≠kπ，k∈z，且f（α）=f（β），求tan（α+β）的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，由f（0）=2，求得a，再由f（$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$+$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求得b的值．
（2）由（1）可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1，再利用正弦函数的值域求得f（x）的最大值与最小值．
（3）由题意可得2α+$\frac{π}{4}$+2β+$\frac{π}{4}$=2kπ+π，k∈Z，求得α+β=kπ+$\frac{π}{4}$，从而求得tan（α+β）的值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=2acos²x+bsinxcosx=acos2x+$\frac{b}{2}$sin2x+a，
由f（0）=2a=2，可得a=1；由f（$\frac{π}{3}$）=-$\frac{a}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$b+a=$\frac{1}{2}$+$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求得b=2．
综上可得，a=1，b=2．
（2）由（1）可得f（x）=cos2x+sin2x+1=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1，
故函数f（x）的最大值为$\sqrt{2}$+1，最小值为-$\sqrt{2}$+1．
（3）∵α-β≠kπ，k∈z，且f（α）=f（β），∴2α+$\frac{π}{4}$+2β+$\frac{π}{4}$=2kπ+π，k∈Z，
求得α+β=kπ+$\frac{π}{4}$，∴tan（α+β）=1．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的值域，属于基础题．