分析:(1)将a=-
代入f(x),确定定义域为(0,+∞),利用导数判断f′(x)在(0,+∞)上的正负,从而确定f(x)在定义域中的单调性;
(2)由于
>1表示点(p+1,f(p+1)) 与点(q+1,f(q+1))连线的斜率,函数图象上在区间(2,3)内任意两点连线的斜率大于1,即f′(x)=2ax+lnx+1>1 在(2,3)内恒成立,最后利用参变量分离法可求出a的取值范围;
(3)构造p(x)=
,然后利用导数研究函数的最大值,从而得到
<
,则
<,即
<,则则
+
+
+…+
<
(
+
+…+
),然后利用放缩法可证得结论.
解答:解:(1)当a=-
时,f(x)=-
x
2+xlnx,
函数f(x)的定义域为(0,+∞),f(x)在(0,+∞)内单调递减.
下面给出证明:
f′(x)=-x+lnx+1,
令g(x)=-x+lnx+1,则g′(x)=-1+
=
,
∴当x∈(0,1)时,g′(x)>0,g(x)在(0,1)上单调递增,
当x∈(1,+∞)时,g′(x)<0,g(x)在(1,+∞)上单调递减,
∴g(x)在x=1时,g(x)取得最大值,即g(1)=0,
∴g(x)<g(1)=0,即f′(x)<0在(0,+∞)上恒成立,
∴f(x)在(0,+∞)内单调递减;
(2)由于
>1表示点(p+1,f(p+1)) 与点(q+1,f(q+1))连线的斜率,
∵实数p,q在区间(1,2)内,
∴p+1 和q+1在区间(2,3)内.
∵不等式
>1恒成立,
∴函数图象上在区间(2,3)内任意两点连线的斜率大于1,
∴f′(x)=2ax+lnx+1>1 在(2,3)内恒成立,
又由函数的定义域知,x>0,
∴a>-
在(2,3)内恒成立,
令h(x)=-
,则h′(x)=
=0,解得x=e,
当x∈(2,e)时,h′(x)<0,故函数h(x)在(2,e)上单调递减,
当x∈(e,3)时,h′(x)>0,故函数h(x)在(e,3)上单调递增,
∴h(x)≤g(2)=-
,h(x)≤g(3)=-
,而-
>-
,
∴a≥-
,即实数a的取值范围是[-
,+∞);
(3)证明:构造p(x)=
,则p′(x)=
=0,解得x=e,
当x∈(0,e)时,p′(x)>0,故函数p(x)在(0,e)上单调递增,
当x∈(e,+∞)时,p′(x)>0,故函数p(x)在(e,+∞)上单调递减,
∴当x=e时,函数p(x)取最大值
,则
<
,
∴
<,即
<,
则
+
+
+…+
<
(
+
+…+
)<
[
+
+…+
]=
(1-
)<
,
∴
+
+
+…+
<
.