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已知f(x)xlnxg(x)=-x2ax3.

(1)求函数f(x)[tt2](t>0)上的最小值;

(2)对一切x∈(0∞)2f(x)≥g(x)恒成立求实数a的取值范围;

(3)证明对一切x∈(0∞)都有lnx>成立.

 

1f(x)min2a≤43)见解析

【解析】(1)【解析】
f(x)lnx1x∈f(x)<0f(x)单调递减;当x∈f(x)>0f(x)单调递增.

0<t<t2<t无解;0<t<<t20<t<f(x)minf=-

t<t2t≥f(x)[tt2]上单调递增f(x)minf(t)tlnt

所以f(x)min.

(2)【解析】
由题意
要使2xlnxx2ax3x∈(0∞)恒成立即要使a≤2lnxx恒成立.

h(x)2lnxx(x>0)h(x)1.

x∈(01)h(x)<0h(x)单调递减;

x∈(1∞)h(x)>0h(x)单调递增.

所以x1h(x)取得极小值也就是最小值

[h(x)]minh(1)4所以a≤4.

(3)证明:问题等价于证明xlnx>x(0∞)

(1)f(x)xlnx(0∞)上最小值是-

当且仅当x时取得.设m(x)x(0∞)m(x)

易得[m(x)]maxm(1)=-

当且仅当x1时取得

从而对一切x∈(0∞)都有lnx>成立

 

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(2)若对任意实数b函数f(x)恒有两个相异的不动点,求a的取值范围.

 

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