Question

已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆的方程为它的离心率为，一个焦点是(-1,0)，过直线上一点引椭圆的两条切线，切点分别是A、B.
(1)求椭圆的方程；
(2)若在椭圆上的点处的切线方程是.求证：直线AB恒过定点C，并求出定点C的坐标；
(3)是否存在实数,使得求证： (点C为直线AB恒过的定点).若存在，请求出，若不存在请说明理由

Answer 1

（I）椭圆方程为. （II）直线AB恒过定点. （III）

解析试题分析：（I）设椭圆方程为的焦点是，故，又，所以，所以所求的椭圆方程为.    4分
（II）设切点坐标为,,直线上一点M的坐标，则切线方程分别为，，又两切线均过点M，即，即点A,B的坐标都适合方程，故直线AB的方程是，显然直线恒过点（1,0），故直线AB恒过定点.  8分
（III）将直线AB的方程，代入椭圆方程，得
，即，
所以，不妨设，
，同理，  12分
所以
，
即，  14分
考点：本题主要考查椭圆标准方程，直线与椭圆的位置关系，存在性问题研究。
点评：难题，曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题求椭圆、标准方程时，主要运用了椭圆的几何性质。对于存在性问题，往往先假设存在，利用已知条件加以探究，以明确计算的合理性。本题（III）通过假设t，利用韦达定理进一步确定相等长度，明确了关系。