Question

6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=8，A=60°，若S_△ABC=$\frac{{15\sqrt{3}}}{4}$，则△ABC的周长等于8+$\sqrt{109}$．

Answer 1

分析 利用三角形面积公式列出关系式，将sinA及已知面积代入求出bc的值，利用余弦定理即可求出b+c的值，即可确定出三角形ABC周长．

解答 解：∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$bc×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{{15\sqrt{3}}}{4}$，
∴解得bc=15，
又∵a=8，A=60°，
∴由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=（b+c）²-45=64，即解得：b+c=$\sqrt{109}$，
∴△ABC的周长为：a+b+c=8+$\sqrt{109}$．
故答案为：8+$\sqrt{109}$．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于基础题．