Question

已知函数f（x）=alnx+x² （a为实常数）．

（1）当a=﹣4时，求函数f（x）的单调区间；

（2）当x∈[1，e]时，讨论方程f（x）=0根的个数；

（3）若 a＞0，且对任意的x₁，x₂∈[1，e]，都有|f（x₁）﹣f（x₂），求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：

利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断；导数在最大值、最小值问题中的应用．

专题：

导数的综合应用．

分析：

（1）当a=﹣4时，利用导数的运算法则可得，在区间（0，+∞）上分别解出f′（x）＞0和f′（x）＜0即可得出单调区间；

（2）当x=1时，方程f（x）=0无解．

当x≠1时，方程f（x）=0（x∈[1，e]）等价于方程 （x∈（1，e]）．

设g（x）=，则．分别解出g′（x）＞0与g′（x）＜0即可得出单调性，

又g（e）=e²，，作出y=g（x）与直线y=﹣a的图象，由图象可知a的范围与方程根的关系；

（3）若a＞0时，f（x）在区间[1，e]上是增函数，函数在区间[1，e]上是减函数．

不妨设1≤x₁≤x₂≤e，则等价于．

即，即函数在x∈[1，e]时是减函数．

可得，即在x∈[1，e]时恒成立．再利用在x∈[1，e]时是减函数，即可得出实数a的取值范围．

解答：

解：（1）当a=﹣4时，，

当时，f'（x）＜0；当时，f'（x）＞0．

∴f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为．

（2）当x=1时，方程f（x）=0无解．

当x≠1时，方程f（x）=0（x∈[1，e]）等价于方程 （x∈（1，e]）．

设g（x）=，则．

当时，g'（x）＜0，函数g（x）递减，

当时，g'（x）＞0，函数g（x）递增．

又g（e）=e²，，作出y=g（x）与直线y=﹣a的图象，由图象知：

当2e＜﹣a≤e²时，即﹣e²≤a＜﹣2e时，方程f（x）=0有2个相异的根；

当a＜﹣e²或a=﹣2e时，方程f（x）=0有1个根；               

当a＞﹣2e时，方程f（x）=0有0个根．

（3）若a＞0时，f（x）在区间[1，e]上是增函数，函数在区间[1，e]上是减函数．

不妨设1≤x₁≤x₂≤e，

则等价于．

即，

即函数在x∈[1，e]时是减函数．

∴，即在x∈[1，e]时恒成立．

∵在x∈[1，e]时是减函数，∴．

所以，实数a的取值范围是．

点评：

本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、等价转化、适当变形等基础知识与基本技能，考查了数形结合思想方法、推理能力和计算能力．