Question

数列{a_n}中，a₁=1，a₂=λ+1，a_n+1=

an+2+λan

1+λ

（λ≠-1），n∈N^*
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设S_n为数列{a_n}的前n项和，当λ＞0且λ≠1时，比较S_n+

n

λ-1

与3a_n的大小．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和,数列与不等式的综合

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）由a_n+1=

an+2+λan

1+λ

（λ≠-1），n∈N^*，变形构造出a_n+2-a_n+1=λ（a_n+1-a_n），从而数列{a_n+1-a_n }是等比数列，通过数列{a_n+1-a_n }的通项公式，再利用累加法求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）利用分组求和法和公式法计算化简S_n+

n

λ-1

，利用作差法比较与3a_n的大小．

解答： 解：（Ⅰ）由a_n+1=

an+2+λan

1+λ

（λ≠-1），n∈N^*，得a_n+2-a_n+1=λ（a_n+1-a_n），
所以数列{a_n+1-a_n }是等比数列，首项为a₂-a₁=λ，公比为λ，
由等比数列通项公式，可得a_n+1-a_n=λⁿ，
所以a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁，
=λ^n-1+λ^n-2+…+λ+1
=

1-λn

1-λ

（n≥2）
当n=1时也适合，
所以a_n=

1-λn

1-λ

．
（Ⅱ）S_n+

n

λ-1

-3a_n=

n

1-λ

-

1

1-λ

（λⁿ+λ^n-1+…+λ）+

n

λ-1

-3

1-λn

1-λ

=

(2λ-3)(1-λn)

(1-λ)2

①
当0＜λ＜1时，①＜0，S_n+

n

λ-1

＜3a_n
当1＜λ＜

3

2

时，①＞0，S_n+

n

λ-1

＞3a_n
当λ=

3

2

时，①=0，S_n+

n

λ-1

=3a_n
当λ＞

3

2

时，①＜0，S_n+

n

λ-1

＜3a_n．

点评：本题考查数列递推公式即应用，考查类加法，分组求和与公式法求和，分类讨论思想，有一定的综合性．