Question

设f（x）是定义在（0，1）上的函数，且满足：①对任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0；②对任意x₁，x₂∈（0，1），恒有

f(x1)

f(x2)

+

f(1-x1)

f(1-x2)

≤2，则关于函数f（x）有

 

（填序号）
（1）对任意x∈（0，1），都有f（x）＞f（1-x）；
（2）对任意x∈（0，1），都有f（x）=f（1-x）；
（3）对任意x₁，x₂∈（0，1），都有f（x₁）＜f（x₂）；
（4）对任意x₁，x₂∈（0，1），都有f（x₁）=f（x₂）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：观察四个命题（1）（2）两个不能同时成立，（3）（4）两个不能同时成立，对于命题（1）（2）可采取令x₁=x，x₂=1-x，即可得到

f(x)

f(1-x)

+

f(1-x)

f(x)

≥2结合已知条件②即可得到（2）是正确的；对于（3）（4）对条件

f(x1)

f(x2)

+

f(1-x1)

f(1-x2)

≤2中的两个变量x₁，x₂交换位置可得

f(x2)

f(x1)

+

f(1-x2)

f(1-x1)

≤2两式相加即可得到结论．

解答： 解：由于命题（1）（2）两个不能同时成立，（3）（4）两个不能同时成立，
对于命题（1）（2），令x₁=x，x₂=1-x，结合①则有

f(x)

f(1-x)

+

f(1-x)

f(x)

≥2，等号当

f(x)

f(1-x)

=

f(1-x)

f(x)

=1时成立
又由②知

f(x)

f(1-x)

+

f(1-x)

f(x)

≤2，由此知

f(x)

f(1-x)

+

f(1-x)

f(x)

=2，
即

f(x)

f(1-x)

=

f(1-x)

f(x)

=1，即f（x）=f（1-x），故（2）对；
对于（3）（4），将②中的变量x₁，x₂交换位置可得

f(x1)

f(x2)

+

f(1-x1)

f(1-x2)

≤2，
故有

f(x1)

f(x2)

+

f(1-x1)

f(1-x2)

+

f(x1)

f(x2)

+

f(1-x1)

f(1-x2)

≤4，
等号当且仅当

f(x1)

f(x2)

=

f(x1)

f(x2)

=1，

f(1-x1)

f(1-x2)

=

f(1-x1)

f(1-x2)

=1时成立，
 又由①即基本不等式知

f(x1)

f(x2)

+

f(1-x1)

f(1-x2)

+

f(x1)

f(x2)

+

f(1-x1)

f(1-x2)

≥4等号当且仅当时成立
故有

f(x1)

f(x2)

=

f(x1)

f(x2)

=1，即对任意x₁，x₂∈（0，1），都有f（x₁）=f（x₂），（4）正确
综上知（2）（4）正确．
故答案为（2）（4）

点评：本题考点是抽象函数及其应用，解决本题的关键是构造出可以利用基本不等式求最值的形式，利用等号成立的条件找到命题正确判断的依据，本题较抽象，要求解题者构造证明问题的意识要强．入手难，难度较大．