解:(Ⅰ)直线AB、AC、BC的方程依次为
。点
到AB、AC、BC的距离依次为
。依设,
,即
,化简得点P的轨迹方程为
圆S:
………5分
(Ⅱ)由前知,点P的轨迹包含两部分
圆S:
①
与双曲线T:
②
的内心D也是适合题设条件的点,由
,解得
,且知它在圆S上。直线L经过D,且与点P的轨迹有3个公共点,所以,L的斜率存在,设L的方程为
③
(i)当k=0时,L与圆S相切,有唯一的公共点D;此时,直线
平行于x轴,表明L与双曲线有不同于D的两个公共点,所以L恰好与点P的轨迹有3个公共点。
…………8分
(ii)当
时,L与圆S有两个不同的交点。这时,L与点P的轨迹恰有3个公共点只能有两种情况:
情况1:直线L经过点B或点C,此时L的斜率
,直线L的方程为
。代入方程②得
,解得
。表明直线BD与曲线T有2个交点B、E;直线CD与曲线T有2个交点C、F。
故当
时,L恰好与点P的轨迹有3个公共点。 …………11分
情况2:直线L不经过点B和C(即
),因为L与S有两个不同的交点,所以L与双曲线T有且只有一个公共点。即方程组
有且只有一组实数解,消去y并化简得
该方程有唯一实数解的充要条件是
④
或
⑤
解方程④得
,解方程⑤得
。
综合得直线L的斜率k的取值范围
。 ………14分