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(本小题14分)
在平面直角坐标系xoy中,给定三点,点P到直线BC的距离是该点到直线AB,AC距离的等比中项。
(Ⅰ)求点P的轨迹方程;
(Ⅱ)若直线L经过的内心(设为D),且与P点的轨迹恰好有3个公共点,求L的斜率k的取值范围。
解:(Ⅰ)直线AB、AC、BC的方程依次为。点到AB、AC、BC的距离依次为。依设,,即,化简得点P的轨迹方程为
圆S:    ………5分
(Ⅱ)由前知,点P的轨迹包含两部分
圆S:                         ①
与双曲线T:            ②
的内心D也是适合题设条件的点,由,解得,且知它在圆S上。直线L经过D,且与点P的轨迹有3个公共点,所以,L的斜率存在,设L的方程为
                 ③
(i)当k=0时,L与圆S相切,有唯一的公共点D;此时,直线平行于x轴,表明L与双曲线有不同于D的两个公共点,所以L恰好与点P的轨迹有3个公共点。
…………8分
(ii)当时,L与圆S有两个不同的交点。这时,L与点P的轨迹恰有3个公共点只能有两种情况:
情况1:直线L经过点B或点C,此时L的斜率,直线L的方程为。代入方程②得,解得。表明直线BD与曲线T有2个交点B、E;直线CD与曲线T有2个交点C、F。
故当时,L恰好与点P的轨迹有3个公共点。                                          …………11分
情况2:直线L不经过点B和C(即),因为L与S有两个不同的交点,所以L与双曲线T有且只有一个公共点。即方程组有且只有一组实数解,消去y并化简得
该方程有唯一实数解的充要条件是                       ④
                                                ⑤
解方程④得,解方程⑤得
综合得直线L的斜率k的取值范围。            ………14分
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