Question

6．若a₁＞0，a₁≠1，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{1+{a}_{n}}$（n=1，2，…）．
（1）求证：a_n+1≠a_n；
（2）令a₁=$\frac{1}{2}$，写出a₂，a₃，a₄，a₅的值，观察并归纳出这个数列的通项公式a_n，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析 （1）采用反证法证明，先假设两种相等，代入已知的等式中即可求出a_n的值为常数0或1，进而得到此数列为是0或1的常数列，与已知a₁＞0，a₁≠1矛盾，所以假设错误，两种不相等；
（2）由已知条件分别令n=1，2，3，能求出a₂，a₃，a₄，a₅的值，并猜想a_n=$\frac{{2}^{n-1}}{{2}^{n-1}+1}$．然后用数学归纳法进行证明．

解答 解：（1）证明：假设a_n+1=a_n，即a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{1+{a}_{n}}$，
解得a_n=0或a_n=1，
从而a_n=a_n-1=…=a₂=a₁=0或a_n=a_n-1=…=a₂=a₁=1，
这与题设a₁＞0或a₁≠1相矛盾，
所以a_n+1=a_n不成立．故a_n+1≠a_n成立．              
（2）由题意得${a_1}=\frac{1}{2}，{a_2}=\frac{2}{3}，{a_3}=\frac{4}{5}，{a_4}=\frac{8}{9}，{a_5}=\frac{16}{17}$，
由此猜想：a_n=$\frac{{2}^{n-1}}{{2}^{n-1}+1}$．
①当n=1时，a₁=$\frac{{2}^{0}}{{2}^{0}+1}$=$\frac{1}{2}$，猜想成立，
②假设n=k+1时，a_k=$\frac{{2}^{k-1}}{{2}^{k-1}-1}$成立，
当n=k+1时，a_k+1=$\frac{2{a}_{k}}{1+{a}_{k}}$=$\frac{2×\frac{{2}^{k-1}}{{2}^{k-1}+1}}{1+\frac{{2}^{k-1}}{{2}^{k-1}+1}}$=$\frac{{2}^{k}}{{2}^{k}+1}$=$\frac{{2}^{（k+1）-1}}{{2}^{（k+1）-1}+1}$，
∴当n=k+1时，猜想也成立，
由①②可知，对一切正整数，都有a_n=$\frac{{2}^{n-1}}{{2}^{n-1}+1}$成立

点评 本题考查了反证法，考查数列的通项公式的猜想，解题时要认真审题，注意数学归纳法的合理运用．