Question

5．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}{{{log}_{\frac{1}{3}}}x，}{x＞1}\end{array}\\ \begin{array}{l}{-{x^2}+2x，}{x≤1}\end{array}，\end{array}\right.$则f（f（3））=-3，函数f（x）的最大值是1．

Answer 1

分析 由分段函数求f（3）=-1，再求f（-1），可得f（F（3））；运用对数函数和二次函数的单调性，可得f（x）的最大值．

解答 解：函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}{{{log}_{\frac{1}{3}}}x，}{x＞1}\end{array}\\ \begin{array}{l}{-{x^2}+2x，}{x≤1}\end{array}，\end{array}\right.$
可得f（3）=$lo{g}_{\frac{1}{3}}3$=-1，
f（f（3））=f（-1）=-1-2=-3：
当x＞1时，f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{3}}x$递减，可得f（x）＜0：
当x≤1时，f（x）=-x²+2x=-（x-1）²+1递增，
可得f（x）≤1．
综上可得，f（x）的值域为f（x）的最大值为1．
故答案为：-3，1．

点评 本题考查分段函数的函数值和最值的求法，注意运用对数函数和二次函数的单调性，考查运算能力，属于基础题．