Question

19．设点O、P、Q是双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y²=4x的交点，O为坐标原点，若△OPQ的面积为2，则双曲线的离心率为$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 求得双曲线的渐近线方程，联立求得P和Q点坐标，根据三角形的面积公式，即可求得$\frac{b}{a}$=2，由双曲线的离心率公式，即可求得双曲线的离心率．

解答 解：∵双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
∴双曲线的渐近线方程是y=±$\frac{b}{a}$x，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{b}{a}x}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2a}{b}}\\{y=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$，
则P（$\frac{2a}{b}$，2），同理求得Q（$\frac{2a}{b}$，2），
△OPQ的面积为S=$\frac{1}{2}$×丨PQ丨×$\frac{2a}{b}$=2，则$\frac{b}{a}$=2，
∴双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{5}$，
双曲线的离心率$\sqrt{5}$，
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题考查双曲线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，考查计算能力，属于中档题．