Question

3．已知四棱锥P-ABCD的底面是一个边长为2的正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=AD，E是线段PC的中点
（Ⅰ）求证：PA∥面BDE；
（Ⅱ）求二面角A-BD-E所成的平面角的余弦值大小；
（Ⅲ）若将四棱锥P-ABCD的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总是多少．

Answer 1

分析 （I）连接AC交BD于O，连接OE，易知O为AC的中点，利用三角形中位线定理、线面平行的判定定理即可得出．
（II）通过建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角公式、数量积运算性质即可得出．
（III）对A与C是否同色分类讨论，利用乘法原理与加法原理即可得出．

解答 （I）证明：连接AC交BD于O，连接OE，易知O为AC的中点，
∴OE为△APC的中位线
∴AP∥OE，
又OE?平面BDE，AP?平面BDE，
∴AP∥平面BDE．
（II）解：以DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则A（2，0，0），B（2，2，0），D（0，0，0），E（0，1，1），P（0，0，2），
$\overrightarrow{DE}$=（0，1，1），$\overrightarrow{DB}$=（2，2，0），
设平面BDE的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{y+z=0}\\{2x+2y=0}\end{array}\right.$，
$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1），又$\overrightarrow{DP}$=（0，0，2）．
设二面角A-BD-E的平面角为θ．
则cosθ=-$|cos＜\overrightarrow{DP}，\overrightarrow{n}＞|$=-$\frac{|\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{DP}||\overrightarrow{n}|}$=-$\frac{2}{2\sqrt{3}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴二面角A-BD-E所成的平面角的余弦值为-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（III）解：若A与C同色则有5×4×3×1×3=180，
若A与C不同色则有5×4×3×2×2=240．
∴共有180+240=420（种）．

点评 本题主要考查立体几何中逻辑推理、空间位置关系、空间角、排列与组合、乘法原理，考查了分类讨论思想、推理能力与计算能力，属于中档题．