[题目]已知椭圆:()和圆:.分别是椭圆的左.右两焦点.过且倾斜角为()的动直线交椭圆于两点.交圆于两点(如图所示.点在轴上方).当时.弦的长为.(1)求圆与椭圆的方程,(2)若依次成等差数列.求直线的方程. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【题目】已知椭圆：（）和圆：，分别是椭圆的左、右两焦点，过且倾斜角为（）的动直线交椭圆于两点，交圆于两点（如图所示，点在轴上方）.当时，弦的长为.

（1）求圆与椭圆的方程；

（2）若依次成等差数列，求直线的方程.

【答案】（1）椭圆的方程为：，：；（2）直线的方程为：.

【解析】

试题（1）求圆与椭圆的方程，其实只要求的值，而本身满足，只要再建立一个关于的等式即可求出的值，这可从直线被圆截得的弦长为考虑，运用垂径定理建立关于等式；（2）求直线的方程，因为直线已经经过，只要再求一点或斜率，即可得到方程，因为成等差数列，结合椭圆的定义，可求得的长，从而可求得的坐标，最终可求得直线的方程.

试题解析：（1）取的中点，连，由，，知，

，，即，从而，

椭圆的方程为：，：.

（2）设，，又的长成等差数列，，

设，由解得，，：.

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依次计算数列，，，，…的前四项的值，由此猜测的有限项的表达式，并用数学归纳法加以证明．

解：计算，

，

① ，

② ，

由此猜想 ③ ．（*）

下面用数学归纳法证明这一猜想．

（i）当时，左边，右边，所以等式成立．

（ⅱ）假设当时，等式成立，即

④ ．

那么，当时，

⑤

⑥

⑦ ．

等式也成立．

根据（i）和（ⅱ）可以断定，（*）式对任何都成立．

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（1）求的值；

（2）请在答题卡中画出这40名新生高考数学分数的频率分布直方图，并估计这40名新生的高考数学分数的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）.

（3）若高考数学分数不低于120分的为优秀，低于120分的为不优秀，则按高考成绩优秀与否从这40名新生中用分层抽样的方法抽取4名学生，再从这4名学生中随机抽取2名，求这2名学生的高考成绩均为优秀的概率.

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