Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率e=

6

3

，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为

3

2

．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知定点E（-1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）直线AB方程为bx-ay-ab=0，依题意可得：

c a = 6 3 ab a2+b2 = 3 2

，由此能求出椭圆的方程．
（2）假设存在这样的值．

y=kx+2 x2+3y2-3=0

，得（1+3k²）x²+12kx+9=0，再由根的判别式和根与系数的关系进行求解．

解答：解：（1）直线AB方程为bx-ay-ab=0，
依题意可得：

c a = 6 3 ab a2+b2 = 3 2

，
解得：a²=3，b=1，
∴椭圆的方程为

x2

3

+y2=1．
（2）假设存在这样的值．

y=kx+2 x2+3y2-3=0

，
得（1+3k²）x²+12kx+9=0，
∴△=（12k）²-36（1+3k²）＞0…①，
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
则

x1+x2=- 12k 1+3k2 x1•x2= 9 1+3k2

…②
而y₁•y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4，
要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），
当且仅当CE⊥DE时，
则y₁y₂+（x₁+1）（x₂+1）=0，
∴（k²+1）x₁x₂+（2k+1）（x₁+x₁）+5=0…③
将②代入③整理得k=

7

6

，
经验证k=

7

6

使得①成立综上可知，存在k=

7

6

使得以CD为直径的圆过点E．

点评：本题考查圆与圆锥曲线的综合性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．