Question

椭圆M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，且经过点P（1，

2

2

）．直线l₁：y=k₁x+m₁与椭圆M交于A，C两点，直线l₂：y=k₂x+m₂与椭圆M交于B，D两点，四边形ABCD是平行四边形．
（1）求椭圆M的方程；
（2）求证：平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于原点O；
（3）若平行四边形ABCD为菱形，求菱形ABCD面积的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据椭圆的离心率为

2

2

，且经过点P（1，

2

2

），建立方程组，求出几何量，即可求椭圆M的方程；
（2）直线l₁：y=k₁x+m₁与椭圆M联立，求出线段AC的中点，同理求出线段BD的中点，利用四边形ABCD是平行四边形，即可得出结论；
（3）若平行四边形ABCD为菱形，求出|OA|，|OB|，利用配方法求菱形ABCD面积的最小值．

解答： （1）解：依题意有

c a = 2 2 1 a2 + 1 2 b2 =1

，
又∵a²=b²+c²，
解得a²=2，b²=1
∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．…（3分）
（2）证明：依题意，直线l₁：y=k₁x+m₁与椭圆M联立，可得（2k₁²+1）x²+4k₁m₁x+2m₁²-2=0
∴x_A+x_C=-

4k1m1

2k12+1

∴线段AC的中点为（-

2k1m1

2k12+1

，

m1

2k12+1

）．
同理，线段BD的中点为（-

2k2m2

2k22+1

，

m2

2k22+1

）．…．（5分）
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴-

2k1m1

2k12+1

=-

2k2m2

2k22+1

，

m2

2k22+1

=

m1

2k12+1

．
解得，m₁=m₂=0或k₁=k₂（舍）．
即平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于原点O．…（7分）
（3）解：由（2）知x_A²=x_C²=

2

2k12+1

故|OA|=|OC|=

1+k12

•

2 2k12+1

．
同理，|OB|=|OD|=

1+k22

•

2 2k22+1

．…．（9分）
又∵AC⊥BD，
∴|OB|=|OD|=

1+( 1 k1 )2

•

2 2( 1 k1 )2+1

，其中k₁≠0．
从而菱形ABCD的面积S为：
S=2|OA||OB|=2

1+k12

•

2 2k12+1

•

1+( 1 k1 )2

•

2 2( 1 k1 )2+1

=4

1 2+ 1 (k1+ 1 k1 )2

，
∴当k₁=1或-1时，菱形ABCD的面积最小，该最小值为

8

3

．…（12分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查四边形面积的计算，考查小时分析解决问题的能力，难度大．