Question

14．定义在实数集R上的函数f（x），如果存在函数g（x）=Ax+B（A，B为常数），使得f（x）≥g（x）对一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．下列说法正确的有：①③．（写出所有正确说法的序号）
①对给定的函数f（x），对承托函数可能不存在，也可能有无数个；
②定义域和值域都是R的函数f（x），不存在承托函数；
③g（x）=ex为函数f（x）=e^x的一个承托函数；
④函数f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$不存在承托函数．

Answer 1

分析 函数g（x）=Ax+B（A，B为常数）是函数f（x）的一个承托函数，即说明函数f（x）的图象恒在函数g（x）的上方（至多有一个交点）①举例可以说明，如f（x）=sinx，则g（x）=B（B＜-1）就是它的一个承托函数，且有无数个，反例如y=tanx或y=lgx就没有承托函数．
②如取f（x）=2x+3，即可看出其不符合，故错．
③要说明g（x）=ex为函数f（x）=e^x的一个承托函数，即证明F（x）=e^x-2x的图象恒在x轴上方．
④先求函数的值域，从而可知函数有无数个承托函数．

解答 解：①如f（x）=sinx，则g（x）=B（B＜-1）就是它的一个承托函数，且有无数个，再如y=tanx．y=lgx就没有承托函数，∴命题①正确；
②f（x）=2x+3的定义域和值域都是R，存在一个承托函数y=2x+1，故命题②不正确；
③令F（x）=e^x-ex，F′（x）=e^x-e=0，得x=1，
当x＜1时，F′（x）＜0，F（x）单调递减，
当x＞1时，F′（x）＞0，F（x）单调递增，
∴当x=1时，F（x）取最小值=0，
∴f（x）≥g（x）对一切实数x都成立
∴③正确；
④设函数$f（x）=\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$=y，则yx²+（y-1）x+y=0
若y=0，则x=0，成立
若y≠0，则△≥0，即（y-1）²-4y²≥0且y≠0，
∴（3y-1）（y+1）≤0且y≠0，
∴-1≤y＜0或$0＜y≤\frac{1}{3}$
综上知，$-1≤y≤\frac{1}{3}$
∴y=A（A≤-1）就是它的一个承托函数，且有无数个；
∴命题④不正确；
故答案为：①③

点评 本题是新定义题，考查对题意的理解和转化的能力，要说明一个命题是正确的，必须给出证明，对于存在性命题的探讨，只需举例说明即可，对于不正确的命题，举反例即可，有一定的综合性．