Question

6．在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知bsinA=$\sqrt{3}$acosB．
（1）求角B 的值；
（2）若cosAsinC=$\frac{{\sqrt{3}-1}}{4}$，求角A的值．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理可得asinB=$\sqrt{3}$acosB，可求tanB=$\sqrt{3}$，结合范围B∈（0，π），即可得解B的值．
（2）利用三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin（2A+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$，结合A的范围，可得2A+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{3}$），从而可求A的值．

解答 （本题满分为14分）
解：（1）∵由正弦定理可得：bsinA=asinB，
又∵bsinA=$\sqrt{3}$acosB，
∴asinB=$\sqrt{3}$acosB，
∴tanB=$\sqrt{3}$，
∵B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{3}$…6分
（2）∵cosAsinC=$\frac{{\sqrt{3}-1}}{4}$，
∴cosAsin（$\frac{2π}{3}$-A）=$\frac{{\sqrt{3}-1}}{4}$，
∴cosA（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{1+cos2A}{2}$+$\frac{1}{4}$sin2A=$\frac{{\sqrt{3}-1}}{4}$，
∴sin（2A+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，$\frac{2π}{3}$），可得：2A+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{3}$），
∴2A+$\frac{π}{3}$=$\frac{7π}{6}$，可得：A=$\frac{5π}{12}$…14分

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．