Question

12．已知函数f（x）=$\sqrt{1+a•{4^x}}$的定义域为（-∞，-1]，则实数a=-4．

Answer 1

分析 根据二次根式的性质得到a•4^x≥-1在x∈（-∞，-1]恒成立，通过讨论a的符号，得到关于a的方程，从而求出a的值即可．

解答 解：由题意得：
1+a•4^x≥0在x∈（-∞，-1]恒成立，
∴a•4^x≥-1在x∈（-∞，-1]恒成立，
a≥0时，a•4^x≥-1在R恒成立，定义域是R，与定义域为（-∞，-1]不符，
a＜0时，4^x≤-$\frac{1}{a}$，x≤${log}_{4}^{（-\frac{1}{a}）}$=-1，
∴-$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{4}$，解得：a=-4，
故答案为：-4．

点评 本题考查了函数的定义域以及二次根式的性质、指数函数的性质，是一道基础题．