Question

函数f（x）=

3

sin2x+（sinx+cosx）（sinx-cosx）．
（1）求f（x）的单调区间和对称轴；
（2）若f（θ）=

3

，其中0＜θ＜

π

2

，求cos（θ+

π

6

）的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,两角和与差的余弦函数,二倍角的余弦,正弦函数的单调性

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（1）化简可得f（x）=2sin（2x-

π

6

），从而可确定f（x）的单调区间和对称轴；
（2）f（θ）=2sin（2θ-

π

6

）=

3

，0＜θ＜

π

2

，故-

π

6

＜2θ-

π

6

＜

5π

6

，所以2θ-

π

6

=

π

3

，即有θ=

π

4

，从而可求cos（θ+

π

6

）的值．

解答： 解：（1）f（x）=

3

sin2x+（sinx+cosx）（sinx-cosx）
=

3

sin2x-cos2x
=2sin（2x-

π

6

），
∴f（x）的对称轴为：x=

kπ

2

+

π

3

．
∵2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，即有kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

．
∴其单调递增区间为：[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]．
∵2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，即有kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

．
∴其单调递减区间为：[有kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]．
（2）f（θ）=

3

，有f（θ）=2sin（2θ-

π

6

）=

3

，
sin（2θ-

π

6

）=

3

2

．∵0＜θ＜

π

2

，故-

π

6

＜2θ-

π

6

＜

5π

6

∴2θ-

π

6

=

π

3

，即有θ=

π

4

cos（θ+

π

6

）=

3

2

cosθ-

1

2

sinθ=

6 - 2

4

．

点评：本题主要考察了两角和与差的余弦函数公式、二倍角的余弦、正弦函数的单调性等综合应用，属于中档题．